Quote

Ich will den erhaltenen Request nahezu unverändert mit IO::Socket::INET an einen anderen Server weiterschicken.

Du wirst eine Response erhalten, die es zu verarbeiten gilt. Dafür ist LWP besser geeignet, das nimmt Dir viel Arbeit ab. Eine HTTP-Response andererseits selbst aus einem Socket zu parsen, das geht zwar auch zu machen, erfordert jedoch viel Wissen um das Protokoll.

Die Request-Header aus der ENV: Warum eine Schleife um die Keys? Die einzelnen Variablen sind direkt adressierbar.

Sofern Du die Response nicht selbst verarbeiten möchtest, es gibt auf CPAN schöne Module, Stichwort Proxy.