Lösung:
Nach dem Einlesen der Seite mit dem Formular davon einen Clon erzeugen: my $formular_seite = $mech->clone(). Diesen Clon kann man später exakt genau so benutzen wie das Original, also mit $formular_seite->form_name($formname) das zweite Formular selektieren, ggf. Felder ändern und mit $formular_seite->submit() abschicken.

Nochmal Danke an GwenDragon für den Gedankenstoß mit dem Clon.