Meiner Meinung nach sollte Perl die alte Verbindung wegräumen, wenn es wirklich keinen Bezug mehr dazu gibt.

$dbh wird mit einem neuen Objekt befüllt, damit sollte das alte Objekt obsolet werden und aufgeräumt werden.
Dabei sollte auch die vorige Verbindung zur DB wegfallen.

Um es sauber zu halten, würde ich aber definitiv ein explizites disconnect() machen, bevor ich die Variable $dbh mit einer anderen Verbindung überschreiben würde.

Und dann mal nachgelesen: Der Absatz zu disconnect in der perldoc DBI ist hier sehr lesens- und beachtenswert! https://metacpan.org/pod/DBI#disconnect

Wenn die DB via Netzwerk (entweder entfernter Rechner oder eigener Rechner (e.g. localhost) erreicht wird, könnte man mit Bordmittel nachschauen, welche Verbindungen zur DB offen sind.

Alternativ könnte auch die DB selber Möglichkeiten bieten, sich anzeigen zu lassen, wieviele offene Verbindungen zur DB es aktuell gibt.