Das, was wir als Zahl schreiben ist eine abgekürzte Schreibweise.

Beispiel:

103 im 10er-System ist 1*10^2 + 0*10^1 + 3*10^0

Wenn man diese Zahl jetzt z.B. ins 8er-System unrechnen will, dann muss man entsprechende Faktoren bestimmen, so dass die Gleichung mit der Basis 8 passt.

Da 8^0=1, 8^1=8, 8^2=64, 8^3=512 ist ergibt sich:
103 = 1*64 + 39 = 1*64 + 4*8 + 7 = 1*8^2 + 4*8^1 + 7*8^0

Somit gilt: 103 im 10er-System entspricht 147 im 8er-System.
Manche schreiben auch 103(10) = 147(8).

Übrigens kann man als Basis nicht nur 1, 2, 8, 10 oder 16 nehmen. Ich finde z.B. negative Basen genial, weil dann macht das Vorzeichen nicht so viel Ärger.
Es sind sogar Brüche oder reelle Zahlen als Basis möglich. Die Umrechung zwischen diesen Basen wäre aber ein Thema für eine Diplom- oder Doktorarbeit in Mathematik.

Über komplexe Zahlen habe ich mir noch keine Gedanken gemacht...

Nur die Basis 0 ist nicht zu empfehlen. Die Begründung dafür bleibt dem interessierten Leser überlassen. :p