> Soll ich HTML 4.01 strict, oder XHTML einsetzen?

Leider bleibt oft nichs anderes uebrig, als einfach zu schreiben und so lange zu probieren, bis es in jedem Browser funktioniert. Denn kein Browser haelt sich an irgend welche Standards.

> Was ist der Unterschied zwischen id- und class-Attributen?

id ist so etwas aehnliches wie name, nur dass man es viel besser benutzen kann, um per Javascript auf Elemente zuzugreifen (document.getElementById()).
class ist dazu da, eigene "Unterstylesheets", also z. B. p.class oder td.class zu erstellen. Etwas komplett anderes als das, was id macht.

> Bei welchen tags können id- und class-Attribute eingesetzt werden (beim IE überall?!)?

id eigentlich ueberall. Naehres siehe SelfHTML

> Wieso ignoriert der Mozilla diese vollständig?

Tut er doch nicht... aber wenn Du sie fuer Stylesheets benutzen willst, musst Du class nehmen