In der Tat sollte 
LWP automatisch eine SSL-Verbindung aufbauen, wenn Du ihm eine 
https-URL übergibst, so sagt es auch die 
Dokumentation.
Damit SSL-Verbindungen von 
LWP unterstützt werden, muss, wenn mich nicht alles täuscht, entweder 
IO::Socket::SSL oder 
Net::SSL installiert sein, als Nutzer der LWP-API muss man diese Module aber nicht direkt ansteuern.
Da beim Aufbau einer SSL-Verbindung der Server authentifiziert wird, muss ferner die zum Serverzertifikat passende Zertifikatsautorität (CA) der SSL-Bibliothek bekannt sein. Falls das nicht der Fall ist bzw. das Serverzertifikat vielleicht selbstsigniert ist, kann man das passende CA- oder Serverzertifikat mit Hilfe der Methode 
LWP::UserAgent::ssl_opts an LWP und die darunter liegende SSL-Bibliothek übergeben.
When C++ is your hammer, every problem looks like your thumb.