[quote=jan,14.11.2003, 21:12]betterworld: danke, klingt schon mal interessant. in wiefern kann eine menge höchstens abzählbar sein, ich meine, rein logisch müsste es dann doch noch ein gegenteil geben, eine menge, die mehr als unendlich teile umfasst.[/quote]
Ja, es gibt in der Tat Mengen, die "mehr" Elemente haben als die Menge N. Zum Beispiel die reellen Zahlen, R. Oder 2^N, die Menge aller Teilmengen von N. Das diese Mengen maechtiger als N sind, laesst sich auch zeigen und ist ein wichtiges Prinzip in der Mathematik.

Als ich das erste Mal hoerte, dass |Q| = |N| ist, wollte ich das nicht glauben, weil ich dachte, dass es ja beliebig viele rationale Zahlen zwischen zwei natuerlichen Zahlen gibt. Ich weiss nicht, ob andere das auch denken, aber ich schreibe hier einfach einmal, was da falschlaeuft. Der Haken dabei ist, dass diesem Gedanken ein ganz anderer Begriff von "gleich viele Elemente" zugrunde liegt. Er ist zwar intuitiver, macht aber nicht viel Sinn, wie ich im Folgenden erklaeren moechte.

Wenn man sagt, dass zwischen 0 und 1 zum Beispiel noch 1/2 liegt, meint man im Prinzip aber das 1/2 aus Q, wohingen man 0 und 1 aus N nimmt. In Q gibt es auch eine 1, die man in Gedanken einfach mit der 1 aus N "gleichsetzt". Das ist okay, nur sollte man sich darueber klar sein, dass der "gleich viele"-Begriff, den man dabei entwickelt, von dieser Identifizierung abhaengt und davon, was man "zwischen" nennt.

Anders ausgedrueckt: Sei A = {a1, a2, a3, ...}, B = {b1, b2, b3, ...}. Gibt es irgend einen Grund, anzunehmen, dass a1=b1 ist? Oder a1=b2? Das wuerde bedeuten, dass man Aepfel mit Birnen vergleicht.