Das stimmt nicht, bei den rationalen Zahlen gibt es auch zwischen je zwei immer noch weitere, trotzdem gibt es eine bijektive Abbildung zwischen den rationalen und den natürlichen Zahlen :-) (Cantor lässt grüßen)

Ich beantworte die Fragen mal nicht... oder noch nicht *g\n\n

<!--EDIT|Crian|1068735927-->

@relais: okay, teil a hast du jetzt beantwortet...

wollt ihr nun teil b wissen?

Die Menge der natürlichen Zahlen N ist ein Beispiel für eine abzählbar unendliche Menge. Es gibt eine erste Zahl und jede weitere Zahl hat genau einen Vorgänger und einen Nachfolger. Man kann die Menge N also abzählen - daher der Name. Diese Art von Unendlichkeit bezeichnet man als als &̣N¹.

Nach Cantor (siehe obiges Hobbit Bespiel) sind auch die rationalen Zahlen Q abzählbar unendlich:

1/1  2/1  3/1  4/1  5/1 ...
1/2  2/2  3/2  4/2  5/2 ...
1/3  2/3  3/3  4/3  5/3 ...
1/4  2/4  3/4  4/4  5/4 ...
1/5  2/5  3/5  4/5  5/5 ...
 .    .    .    .    .  .
 .    .    .    .    .    .
 .    .    .    .    .      .

Man sieht, dass man auch diese Menge abzählen kann. Selbst wenn man jetzt noch die Null oder Minuszahlen dazu tut, bleibt es abzählbar.

Man sieht auch das N in Q enthalten ist; was wohl die Frage klärt, ob eine Menge eine unendliche Menge nethalten kann!!!


Nun gibt es auch Mengen die echt größer sind als die Menge N und auch als die Menge Q. Die Menge R (reele Zahlen) ist ein Beipiel für eine überabzälbar unendliche Menge.

Beweis durch Cantor'sches Diagonalverfahren: Wir beschränken uns auf das Interval [0; 1]. Angenommen, die reelen Zahlen in diesem Interval wären abzählbar unendlich. Dann müsste folgende Liste alle enthalten:

A1 = 0.a11a12a13a14a15 ...
A2 = 0.a21a22a23a24a25 ...
A3 = 0.a31a32a33a34a35 ...
A4 = 0.a41a42a43a44a45 ...
...

wobei 0 die Zahl vor dem Komma und aij eine Dezimalstelle darstellt...

Es lässt sich aber nun folgendemaßen eine Zahl 0.b1b2b3 ... konstruieren, die in der Liste nicht vorkommt:

Wir wählen b1 so, dass es ungleich a11, b2 so, dass es ungleich a22 ist, und allgemein bn so, dass es ungleich ann ist. Diese Zahl stimmt mit A1 in der ersten Nachkommastelle nicht überein, mit A2 nicht in der zweiten und mit An nicht in der n-ten. Da die falsche Annahme zu einem Widerspruch geführt hat, muss die Menge R überabzählbar unendlich sein...

Einschub: @jan: was studiert du?

Quote

Seit gar nicht zu langer Zeit gibt es in der Naehe von Hogwash ein mondaenes Hotel mit einem
Hotelmanager namens Dave Hobbit. Hobbit's Hotel hat abzaehlbar unendlich viele Zimmer,
die alle(!) belegt sind. Da erscheint ein neuer Gast und verlangt ein Zimmer. Herr Hobbit
ist ein sehr kluger Mann, er bittet den Gast aus Zimmer 1 in das Zimmer 2 zu ziehen, den
Gast aus Zimmer 2 verlegt er in Zimmer 3 und so weiter. Damit ist Zimmer 1 frei und kann
bezogen werden.
a) Es kommt ein Bus an mit abzaehlbar unendlich vielen neuen Gaesten. Herr Hobbit bringt
auch diese in seinem Hotel unter. Wie macht er das?
b) Als abzaehlbar unendlich viele Busse mit je abzaehlbar unendlich vielen Gaesten ankommen und nach Zimmern verlangen, geraet Herr Hobbit ins Schwitzen. Koennen Sie Ihm
helfen und erklaeren, wie er alle diese Leute (ohne Mehrfachbelegung) in seinem Hotel
unterbringen kann?
Anmerkung: Ueber die Zimmerpreise liegen leider keine Informationen vor.

Wer kennt die Loesungen?

Ich werf mal als Tipp das Schlagwort "Primzahlen" in die Runde...

[quote=Crian,13.11.2003, 16:08]Ich werf mal als Tipp das Schlagwort "Primzahlen" in die Runde...[/quote]
Warum? Was hat das mit Primzahlen zu tun

das wird mir bei weitem zu mathematisch, muss ich gestehen. danke für den erklärungsversuch. bleibt aber dennoch, dass sich unendlichkeiten nicht so einfach vergleichen lassen? eine menge mit drei elementen mit einer mit fünf elementen zu vergleichen, ist leicht. während ich nach drei zählschritten bei der einen ans ende gelangt bin, ist in der anderen noch was drin. bei zwei unendlichen mengen aber kann ich unendlich viele schritte machen und stoße weder bei der einen noch bei der anderen an ein ende.

meine frage war nicht, ob eine menge eine unendliche menge (naja, in gewisser weise schon) enthalten kann, sondern, ob eine unendliche menge auch sich selbst als element enthalten kann.

ahja, genau, das war's, danke für die schnelle antwort mit erklärung. ich erinnerte das nur am rande, weil das bei uns irgendwo am ende erwähnung fand, während sich der ganze kurs weniger auf mathematisch logik als auf diduktive schlüsse auf basis des dialektischen wahrheitsbegriffes bezog. die einschübe der mathematischen probleme waren, denke ich, eher gedacht, um die informatiker wachzurütteln, die dank ihres logikkurses, den sie im grundstudium besucht hatten, mehr oder weniger die ganze zeit schliefen....

@crian: das kann ich bestätigen...

bei uns gab es in den übungen immer einen halben punkt, wenn man die aufgabe zwar falsch, dafür aber viel geschrieben hat! :P