was soll "abzählbar unendlich" bedeuten? eine unendliche menge ist nicht abzählbar, würde ich sagen, daher bitte ich um aufklärung dieses begriffes.

die aufgabe besteht also darin, sinnvolle abzählschemata zu definieren.

a) ist, denke ich, klar
b) erinnert mich an das abzählschema, mit dem Q nach N abgebildet wird.

eine andere definition für "abzählbar unendlich" ist folgende:
M ist abzählbar <=> |M| = |N|, wobei |M| = anzahl elemente in M, N sind die natürlichen zahlen.
das kann man zeigen, indem eine folge angegeben wird, die alle elemente von M durchläuft. dadurch wird (im endeffekt) eine bijektive funktion definiert.

Also ein Hotel mit (abzählbar) unendlich vielen Zimmern sollte sich schon einen Mathematiker als Hotelmanager gönnen ;-)

Immerhin verdienen die ganz schön viel Geld ... geben andererseits für die Putzleute, Zimmereinrichtung etc auch eine Menge aus ^^

Okay :)

man teilt jedem Gast einen Eintrag aus N x N zu (wobei N =: Menge der natürlichen Zahlen)
(0, 0) --> (0, 1)     (0, 3) --> ... für alle Gäste im Hotel
        /          /          /          /
(1, 0)     (1, 1)     (1, 3) ... für alle Gäste aus Bus 1
  |     /          /
(2, 0)     (2, 1)     (2, 3) ... für alle Gäste aus Bus 2

...  

(n, 0)     (n, 1)     (n, 3) ... für alle Gäste aus Bus n

...

man ordnet dann so (Strichen folgen)

von (0, 0) nach (0, 1) nach (1, 0) nach (2, 0) nach (1, 1) nach (0, 3) usw.

so erhält jeder ein Zimmer :P

[quote=Crian,14.11.2003, 13:24]Anmerkung an Esskar: die dritte Spalte Deines Schemas sollte an der zweiten Stelle aber eine 2 haben, sonst verwirrt es...[/quote]
nein es geht weiter mit 5, 7, 11, ... :)

rein logisch hat man dann nur noch das problem, dass nie alle gäste unterkommen werden, da der prozess der (unmöglichen) unterbringung unendlich lange dauert.

>aber abzählbar unendlich lange...

ja, abzählbar kann die unendlichkeit da gerne sein, endlicher wird sie dadurch ja leider nicht. ich sehe das ganze weniger mathematisch als philosophisch - und da bekommt man notwendigerweise schwierigkeiten...

[quote=jan,14.11.2003, 21:12]betterworld: danke, klingt schon mal interessant. in wiefern kann eine menge höchstens abzählbar sein, ich meine, rein logisch müsste es dann doch noch ein gegenteil geben, eine menge, die mehr als unendlich teile umfasst.[/quote]
Ja, es gibt in der Tat Mengen, die "mehr" Elemente haben als die Menge N. Zum Beispiel die reellen Zahlen, R. Oder 2^N, die Menge aller Teilmengen von N. Das diese Mengen maechtiger als N sind, laesst sich auch zeigen und ist ein wichtiges Prinzip in der Mathematik.

Als ich das erste Mal hoerte, dass |Q| = |N| ist, wollte ich das nicht glauben, weil ich dachte, dass es ja beliebig viele rationale Zahlen zwischen zwei natuerlichen Zahlen gibt. Ich weiss nicht, ob andere das auch denken, aber ich schreibe hier einfach einmal, was da falschlaeuft. Der Haken dabei ist, dass diesem Gedanken ein ganz anderer Begriff von "gleich viele Elemente" zugrunde liegt. Er ist zwar intuitiver, macht aber nicht viel Sinn, wie ich im Folgenden erklaeren moechte.

Wenn man sagt, dass zwischen 0 und 1 zum Beispiel noch 1/2 liegt, meint man im Prinzip aber das 1/2 aus Q, wohingen man 0 und 1 aus N nimmt. In Q gibt es auch eine 1, die man in Gedanken einfach mit der 1 aus N "gleichsetzt". Das ist okay, nur sollte man sich darueber klar sein, dass der "gleich viele"-Begriff, den man dabei entwickelt, von dieser Identifizierung abhaengt und davon, was man "zwischen" nennt.

Anders ausgedrueckt: Sei A = {a1, a2, a3, ...}, B = {b1, b2, b3, ...}. Gibt es irgend einen Grund, anzunehmen, dass a1=b1 ist? Oder a1=b2? Das wuerde bedeuten, dass man Aepfel mit Birnen vergleicht.

hmmm...
ich hatte mir auch schon überlegt, ob ich einen philo. kurs besuchen sollte...

Früher gehörte die Pholosophie fest zum Mathematikstudium, mein Vater hat deshalb z.B. noch Philosophie zusätzlich studiert.

Ich wollte das eigentlich auch, bin aber nicht dazu gekommen.

Dafür kann man aber auch schon in der Mathematik selbst vortrefflich philosophieren ;)